Le nombre pi symbolise le lien constant entre toute circonférence et son diamètre. Cette constante mathématique irrigue de nombreux chapitres du collège et du lycée : géométrie plane, trigonométrie, radian, longueurs d’arcs, aires, probabilités géométriques. Voici un ensemble structuré de rappels, de méthodes et de 10 exercices corrigés progressifs pour travailler les automatismes et consolider les raisonnements.
Sommaire
Nombre Pi : rappels et formules utiles
On note π la constante définie comme le rapport C/D pour un cercle. En pratique, on alterne entre calcul exact (avec π) et valeur approchée (3,14 ; 3,1416 ; 22/7). Le passage de l’un à l’autre se décide selon le contexte : démonstration, mesure, ou réponse numérique attendue.
En géométrie du cercle et en trigonométrie, π intervient dans le périmètre, l’aire, les conversions degré/radian, la longueur d’un arc et l’aire d’un secteur. Un même exercice mobilise souvent plusieurs de ces formules ; l’identification des données et des unités sécurise le résultat.
« π désigne le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi. » — Définition usuelle en géométrie
La pensée stratégique aide à choisir la bonne voie de résolution : repérer les invariants, anticiper les erreurs d’arrondi, comparer plusieurs pistes de calcul. Cette démarche rappelle l’analyse de positions sur un échiquier. Pour s’entraîner à structurer un raisonnement étape par étape, un détour par un site de ressources pour progresser aux échecs et raisonner stratégiquement peut offrir des parallèles utiles entre calcul, planification et vérification.
| Formule liée à π | Expression | Variables | Niveau |
|---|---|---|---|
| Périmètre du cercle | C = 2πr | r : rayon | Collège |
| Aire du disque | A = πr² | r : rayon | Collège |
| Arc (degrés) | L = (θ/360)·2πr | θ en degrés | Collège |
| Arc (radians) | L = rθ | θ en radians | Lycée |
| Secteur (radians) | A = (1/2)r²θ | θ en radians | Lycée |
| Conversion | π rad = 180° | — | Collège/Lycée |
Nombre Pi : 10 exercices corrigés (collège)
Les premiers exercices ciblent les automatismes : reconnaître la bonne formule, gérer les unités, choisir un arrondi cohérent avec les données.
Le passage de la donnée au résultat suit un protocole simple : identifier la grandeur cherchée, isoler la formule, substituer, simplifier, arrondir. Des vérifications de bon sens sécurisent la réponse (ordre de grandeur, unité finale).
Exercice 1 (collège) — Périmètre d’un cercle
Un cercle a pour rayon r = 7 cm. Calculer le périmètre du cercle.
Correction :
- Formule : C = 2πr
- Calcul exact : C = 2π·7 = 14π cm
- Valeur approchée : C ≈ 14 × 3,1416 = 43,9824 ≈ 43,98 cm
Le résultat reste cohérent avec un cercle de rayon 7 : un périmètre un peu inférieur à 44 cm.
Exercice 2 (collège) — Aire d’un disque
Un disque de diamètre 10 cm. Déterminer son aire.
Correction :
- Rayon : r = 5 cm
- Formule : A = πr² = π·5² = 25π cm²
- Arrondi : A ≈ 25 × 3,1416 = 78,54 cm²
À retenir : penser « rayon ». Avec le diamètre, diviser par 2 avant d’appliquer A = πr².
Exercice 3 (collège) — Longueur d’un arc (degrés)
Dans un cercle de rayon 12 cm, on considère un angle central de 60°. Calculer la longueur de l’arc correspondant.
Correction :
- Formule : L = (θ/360)·2πr
- Substitution : L = (60/360)·2π·12 = (1/6)·24π = 4π cm
- Arrondi : L ≈ 12,57 cm
L’échelle angulaire étant sixième du tour, on retrouve un sixième de la circonférence totale.
Exercice 4 (collège) — Aire d’un secteur (degrés)
Un secteur circulaire de rayon 8 cm et d’angle 135°. Déterminer son aire.
Correction :
- Formule en degrés : A = (θ/360)·πr²
- Substitution : A = (135/360)·π·8² = (3/8)·π·64 = 24π cm²
- Arrondi : A ≈ 75,40 cm²
Le secteur couvre un peu plus d’un tiers du disque, l’aire suit la même proportion.
Exercice 5 (collège) — Qualité d’une approximation de π
Comparer l’approximation 22/7 à la valeur 3,1416. Calculer l’erreur relative de 22/7 par rapport à π.
Correction :
- 22/7 ≈ 3,142857…
- Écart absolu : |22/7 − π| ≈ |3,142857 − 3,141592| ≈ 0,001265
- Erreur relative : 0,001265 / 3,141592 ≈ 0,000402 ≈ 0,040 %
À retenir : 22/7 surestime légèrement π. Pour des calculs fins, garder π puis arrondir à la fin améliore la précision.
Nombre Pi : 10 exercices corrigés (lycée)
La suite met l’accent sur les radians, le cercle trigonométrique, les arcs et secteurs en mesure angulaire réelle, ainsi que sur des démarches d’approximation de π.
Les raisonnements s’appuient sur le vocabulaire précis : unité d’angle, orientation, intervalle de recherche, fonctions trigonométriques, erreurs relatives.
Exercice 6 (lycée) — Radians, degrés et valeurs usuelles
a) Convertir 150° en radians. b) Convertir −π/4 en degrés. c) Évaluer sin(π/6), cos(π/3), tan(π/4).
Correction :
- a) 150° = 150×(π/180) = 5π/6 rad
- b) −π/4 = −45°
- c) sin(π/6) = 1/2 ; cos(π/3) = 1/2 ; tan(π/4) = 1
À retenir : π rad ↔ 180°. Les angles remarquables fixent un repère fiable pour la suite.
Exercice 7 (lycée) — Équation trigonométrique simple
Résoudre sur [0, 2π] : 2·sin x = √2.
Correction :
- sin x = √2/2
- Sur le cercle unité, sin x positif atteint √2/2 pour x = π/4 et x = 3π/4
- Solutions : x ∈ {π/4, 3π/4}
Le signe de sin x et la symétrie verticale du cercle trigonométrique guident la localisation des solutions.
Exercice 8 (lycée) — Coordonnées sur le cercle trigonométrique
Déterminer les coordonnées de M sur le cercle unité pour l’angle −2π/3.
Correction :
- −2π/3 correspond à −120° (ou 240°)
- cos(−2π/3) = cos(120°) = −1/2
- sin(−2π/3) = −sin(120°) = −√3/2
- M(−1/2, −√3/2)
La parité des fonctions et les quadrants fixent le signe sans ambiguïté.
Exercice 9 (lycée) — Approcher π par polygones inscrits
Dans un cercle de rayon r, on inscrit un polygone régulier à n côtés. Son périmètre vaut Pn = 2n r sin(π/n). En déduire une approximation de π pour n = 6 puis n = 12.
Correction :
- π ≈ Pn/(2r) = n·sin(π/n)
- n = 6 : π ≈ 6·sin(π/6) = 6·0,5 = 3,00 (bornes par défaut : polygone inscrit)
- n = 12 : sin(π/12) = sin(15°) ≈ 0,258819 → π ≈ 12·0,258819 ≈ 3,1058
En augmentant n, l’approximation se raffine. Les polygones inscrits sous-estiment la circonférence, donc π.
Exercice 10 (lycée) — Longueurs d’arc et aires en radians
Dans un cercle de rayon r = 5 cm, on prend θ = 2,4 rad.
- a) Longueur d’arc L.
- b) Aire du secteur A.
Correction :
- a) L = rθ = 5×2,4 = 12 cm
- b) A = (1/2)r²θ = 0,5×25×2,4 = 30 cm²
En radians, les formules se simplifient : aucune conversion, les expressions utilisent directement θ.
Nombre Pi : méthodes, vérifications et erreurs fréquentes
La maîtrise de π repose sur des réflexes de contrôle. L’unité de l’angle détermine la formule de travail ; confondre degrés et radians perturbe l’échelle et fausse tout le calcul.
Les arrondis successifs introduisent des écarts cumulatifs. Conserver des expressions exactes avec π, puis arrondir en toute fin, sécurise les résultats numériques.
- Unités : préciser cm, cm², rad, ° à chaque étape.
- Ordre de grandeur : C ≈ 6r ; A ≈ 3r² donne des repères rapides.
- Angle : vérifier le domaine [0, 2π] ou [−π, π] selon la question.
Pour l’approximation statistique de π (méthode de Monte Carlo avec un disque dans un carré), la variabilité d’échantillonnage influe sur la précision ; la taille de l’échantillon et l’estimation d’un intervalle de fluctuation encadrent le résultat.
Exemple bref : sur 100 lancers, 79 dans le disque donnent π̂ = 4×0,79 = 3,16. L’incertitude reste notable ; augmenter le nombre d’essais améliore la stabilité.