Nombre PI

Le nombre Pi (π)

Pi est un nombre qui a fasciné bien des savants à travers les âges. Très important en science, il est représenté par la lettre grecque π que l’on représente toujours en minuscule quand il s’agit de désigner le nombre Pi.

Définition

Parfois appelé constante d’Archimède, le nombre Pi est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre lorsque l’on se situe dans un plan euclidien. C’est aussi le rapport de l’aire d’un disque par le carré de son rayon.

L’histoire du nombre Pi

À travers sa nature exceptionnelle et son intéressante utilité, le nombre Pi est resté l’un des principaux centres d’attentions des mathématiciens depuis sa découverte. En effet, depuis près de 4000 ans maintenant, la recherche de la détermination de ses décimales a été la proie de ces derniers.

Qui l’a créé ?

Archimède, mathématicien grec, a trouvé une méthode pour calculer les décimales de Pi. En calculant le rapport entre le périmètre d’un cercle et son diamètre, il s’aperçut qu’on trouvait toujours le même nombre, à quelques décimales près. La première méthode d’obtention des décimales Pi venait ainsi le jour.

Quand a-t-il été inventé ?

Selon l’histoire, des traces d’approximation du nombre Pi ont été retrouvées sur des vestiges des civilisations babylonienne et égyptienne (1800 ans av. J.-C.). Cependant, ce ne sera qu’au IIIe siècle av. J.-C. que la première méthode de calcul de Pi sera établie par Archimède. Plus tard, de nombreux mathématiciens à travers le monde et les époques établiront d’autres approximations. Quant à l’indication symbolique π, elle fera son apparition à partir du XVIIe siècle quand certains mathématiciens utiliseront la notation π/δ où π désigne la circonférence et δ le diamètre. Le premier à utiliser simplement π est William Jones dans son livre « Synopsis Palmariorum Mathesios », publié en 1706. Cet ouvrage traitait d’ailleurs du calcul astucieux du nombre Pi par la série de John Machin.

Et pourquoi π ?

La notation π correspond à la 16e lettre de l’alphabet grec qui n’apparait qu’en 1647. Inspirée d’Archimède qui désignait la longueur de la circonférence par le mot «περιμετροε» (périmètre), elle est due à l’anglais William Oughtred (1574 – 1660) qui l’utilisa pour nommer le périmètre d’un cercle. Toutefois, ce ne sera qu’après le succès de l’ouvrage « Introduction à l’Analyse Infinitésimale » en 1748 que la notation π s’imposera officiellement.

Valeur de Pi

Le nombre Pi, parce qu’il s’écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique, est qualifié de nombre irrationnel. Certains savants vont jusqu’à le traiter de transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynômes non nuls à coefficients entiers dont π soit une racine (solution).

Les différentes valeurs approximatives de π

Dans la pratique, le nombre 3,14 est souvent utilisé comme valeur de π. Il est cependant plus aisé de retenir la fraction 22/7 ou la racine carrée de 10 comme valeurs plus ou moins exactes de Pi.

Historique des valeurs de Pi

Comme montré ci-dessus, les approximations de Pi ont été nombreuses et très diversifiées au fil du temps. Au XXe siècle av. J.-C. par exemple, les Babyloniens utilisaient l’approximation 25/8 et les Égyptiens [(16/9)^2 = 3,1604…]. Ce ne sera qu’au IIe siècle av. J.-C., vers l’an 250 av. J.-C., qu’une meilleure approximation verra le jour avec le « traité d’Archimède de Syracuse » sur la mesure du cercle. Grâce à une méthode d’encadrement, Archimède obtint 3.1408…< π < 3.1428, soit une précision de 2.10^(-3) et 2 décimales exactes.

De plus, au cours des années 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. Cette découverte fut suivie de celles du Hollandais Ludolph van Ceulen qui en calcula 20 en 1596, puis 34 en 1609 en s’appuyant sur des méthodes géométriques.

Par la suite, grâce au développement de l’analyse au XVIIe siècle, avec notamment les sommes et produits finis, le calcul des décimales de Pi s’accéléra. Par exemple, John Machin calcula 100 décimales de Pi en 1706 et Euler finit par en calculer 20 en une heure (vers 1760). Quelle avancée ! Comparée à la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en 10 ans de calcul, il parait clairement que de prodigieuses avancées ont été réalisées.

Mais l’histoire ne s’arrêta pas là. Au cours de l’an 1789, le mathématicien slovène Jurij Vega calcula les 140 premières décimales de π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. C’est ainsi que les techniques s’amélioraient jusqu’au siècle présent au cours duquel le calcul des décimales de Pi s’emballa réellement. Et pour cause : l’outil informatique est né. En effet, l’apparition de l’outil informatique a boosté le calcul de ces décimales. De 2037 décimales calculées en 1949, nous sommes passés à 1 241 100 000 000 connues en 2002 puis à environ 13 300 milliards de décimales connues à ce jour.

Comment calculer Pi ?

Du fait de sa nature irrationnelle, le nombre Pi ne possède pas de développement décimal fini ou périodique. C’est la raison pour laquelle l’on n’arrive qu’à déterminer une écriture décimale approchée de sa valeur réelle. Et pour arriver à ce stade, plusieurs méthodes pratiques et efficaces peuvent être employées. Parmi elles, on en retient les 5 suivantes qui sont assez pertinentes.

Méthode 1 : Calcul de Pi à partir des mesures d’un cercle
1- Vérifiez que votre figure est un cercle en vous assurant que tous ses points soient à égale distance du centre.
2- Mesurez la circonférence (périmètre) de votre cercle avec précision.
3- Mesurez aussi le diamètre du cercle.
4- Utilisez la formule de la circonférence (C= π*d) de laquelle vous déduirez Pi. Il est alors égal à la circonférence divisée par le diamètre : π=C/d. Vous devriez trouver des valeurs proches de 3,14.
5- Confirmez votre résultat en répétant la même opération avec des cercles de périmètres différents, puis faites la moyenne des résultats trouvés. Cela vous permettra d’obtenir des valeurs assez précises de π.

Méthode 2 : Calcul de Pi en utilisant une série infinie
1- Utilisez la formule de Leibniz-Gregory en faisant (4/1)-(4/3)+(4/5)-(4/7)+… Alternez les additions et les soustractions de fractions ayant toujours 4 au numérateur et un nombre impair croissant au dénominateur. Plus vous ferez d’itérations, plus votre valeur de π sera précise.
2- Essayez la formule de Nilakantha en alternant des additions et les soustractions de fractions ayant toujours 4 en numérateur. Le dénominateur est le produit de trois entiers successifs. À la fraction suivante, le premier élément du produit est le dernier élément du produit précédent. Cette formule permet l’obtention rapide d’une valeur assez précise de π.

Méthode 3 : La méthode de Buffon
Buffon a remarqué qu’en jetant un très grand nombre d’aiguilles sur un parquet, on pouvait obtenir une approximation de π. Pour cela, il faudra utiliser des aiguilles qui ont comme longueur la largeur des lattes du parquet. La probabilité qu’une aiguille coupe le bord d’une latte serait de π.

Méthode 4 : Obtenir Pi en utilisant la limite d’une fonction
1- Choisissez un grand nombre que l’on appellera x (plus élevé sera ce nombre, plus précise sera votre valeur de π.
2- Faites l’application numérique en remplaçant x par la valeur que vous avez choisie dans la fraction suivante : x*sin [180/x]. Pour que cette méthode puisse fonctionner, votre calculatrice doit être réglée sur « degrés ».

Méthode 5 : Calculer la constante Pi en utilisant la fonction arcsinus
1- Choisissez un nombre x dans l’intervalle -1 et 1 ouvert, car la fonction arcsinus n’admet pas de valeurs extérieures à l’intervalle [-1 ; 1].
2- Entrez le nombre choisi dans la formule qui suit : 2*[arcsin (sqrt (1-x^2)) + abs (arcsin(1))].

Utilité de Pi

Les caractéristiques du nombre Pi lui confèrent une très grande utilité. Toutefois, bien qu’employé dans plusieurs domaines, son usage principal est fait en géométrie, car il intervient dans la résolution de tous les problèmes impliquant une figure géométrique qui possède une courbure de 180°. En plus de cela, π se retrouve dans plusieurs formules qui permettent d’expliquer des réalités dans presque tous les domaines scientifiques.

Quelques formules incluant Pi

Les formules incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines d’étude scientifique.

Formules géométriques

• Circonférence d’un cercle de rayon r et de diamètre d : C= 2πr = πd.
• Volume d’une sphère de rayon r : V= 4/3πr^(3).
• Volume d’un cylindre de hauteur h et de rayon r : V= πr^2*h…
• Pi se retrouve également dans le calcul des hypersphères (à plus de 3 dimensions). De plus, la mesure de l’angle 180° est égale à Pi radians (π rad).

Théorie des nombres

Voici encore deux postulats de la théorie des nombres qui intègrent Pi dans leur énoncé :

• la fréquence d’apparition de paires d’entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d’entiers comprises entre 0 et N tend vers 6/π^2, quand N tend vers l’infini ;
• le nombre moyen de façon à écrire deux nombres entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrés parfaits, en tenant compte de l’ordre, tend vers π/4 quand N tend vers l’infini.

Comment obtenir le nombre Pi sur un clavier ?

Plusieurs méthodes permettent d’obtenir π sur un clavier. Par exemple :

Méthode 1 : pour taper le nombre Pi sur un Mac
1- Maintenez la touche option enfoncée.
2- Appuyer sur la touche « p », vous verrez apparaitre π
3- Relâchez les deux touches.

Méthode 2 : pour taper π sur un PC
1- Appuyez sur la touche Verr Num pour l’activer.
2- Maintenez enfoncée la touche Alt.
3- Tapez 227 ou 960 à l’aide du pavé numérique.
4- Relâchez la touche Alt.
5- Désactivez Verr Num.

Méthode 3 : pour récupérer le nombre Pi sur internet
1- Trouvez le symbole π sur internet en tapant Pi dans un moteur de recherche.
2- Mettez en surbrillance le symbole π (sélectionnez le symbole).
3- Copiez le symbole π en maintenant enfoncée la touche Ctrl et appuyez sur C.
4- Sur votre document, cliquez à l’endroit où vous souhaitez utiliser le symbole.
5- Collez le symbole à l’endroit souhaité.

Méthode 4 : pour utiliser π sur un PC (plus petit et plus bas)
1- Activez le pavé numérique en pressant sur la touche Verr Num.
2- Maintenez la touche Alt enfoncée.
3- Tapez 210 sur le pavé numérique.
4- Lâchez la touche Alt. Vous obtenez le symbole de Pi à l’endroit souhaité.
5- Désactivez la touche Verr Num en appuyant sur cette dernière.

Méthode 5 : pour ajouter π dans un document Word
1- Ouvrez le document Word.
2- Modifiez la police en sélectionnant la police Symbol.
3- Appuyez sur la touche « p » le symbole de Pi s’affiche.
PS : Cette méthode fonctionne aussi avec les logiciels de Libre Office et Open Office.

En somme, Pi est un nombre irrationnel et transcendant qui a fasciné le monde des calculs pendant des siècles. Il est d’une importance capitale puisqu’il intervient dans la plupart des formules scientifiques. Si dans la pratique il n’est fait usage que de 39 de ses décimales, le nombre Pi reste à ce jour un nombre mystère, car la recherche des méthodes de calcul d’un plus grand nombre de ces décimales est encore d’actualité.