L'approximation de Pi 355/113

L'approximation 355/113 a été trouvée en Chine au Vème siècle après J.-C. par Zu Chongzhi. Elle n'a été déterminée en Occident qu'au XVIIème siècle, par Adriaensz Metius.

Il doit cette découverte à son père Adriaensz Anthonisz (1527-1607). Il avait utilisé la méthode des polygones. Ayant trouvé les valeurs 333/106 et 377/120, il a fait la moyenne des numérateurs et des dénominateurs, et a obtenu 355/113.
La précision de Pi avec six décimales (3,1415929...) avait toutefois été retrouvée en Europe par Valentinus Otho au siècle précédent.

 UNE EXCELLENTE APPROXIMATION

355/113 est une approximation de Pi avec les six premières décimales exactes.
355/113=3,14159292...
355/113 : 3,14159292... = Pi + 0.000000266... Pi à 0,00000849 % près.

Il s'agit d'une excellente approximation de Pi, la meilleure que l'on puisse avoir avec une fraction relativement simple. Suffisante dans un but technique pour l'ingénierie (fabrication d'engrenages, ...), et pour les artisans.

355/113 est beaucoup mieux que 22/7 : environ 5000 fois plus précise. Aucune fraction ayant pour dénominateur 113 ou moins ne donne une meilleure approximation que 355/113. Une approximation similaire est 52163/16604 :
3,14159238... = Pi - 0.000000266... Pi à 0,00000847 % près.

355/113 est la meilleure approximation rationnelle du nombre Pi jusqu'à 103993/33102. Celle-ci est 400 fois plus précise que 355/113, mais beaucoup plus difficile à retenir.

Avec l'approximation 355/113, le mathématicien Ramanujan avait calculé que pour un cercle d'un rayon de 340 km, la construction d'un carré d'une surface identique entraîne une erreur d'environ 2,5 cm sur la longueur d'un côté du carré. (Squaring the circle)

 FACILE A RETENIR

355/113 est facile à retenir (113 | 355). On écrit deux fois les trois premiers chiffres impairs : 1 1 3 3 5 5. Puis on scinde l'expression en deux nombres de trois chiffres. On met le plus grand nombre au-dessus de l'autre.

3 5 5

1 1 3
 petite animation

L'approximation 355/113 n'est pas enseignée couramment durant le cycle scolaire. Peut-être est-ce dû à la difficulté d'avoir à mémoriser deux nombres de trois chiffres.

Cependant, 355/113 est utilisée dans les concours de jeux mathématiques comme une valeur conventionnelle destinée à remplacer Pi dans les calculs.

 UNE CALCULATRICE SANS TOUCHE Pi ?

La touche [Pi] servant à simplifier les calculs ne se retrouve pas sur toutes les calculatrices. Il faut donc taper de mémoire une valeur approchée de Pi comme 3,14 ou une meilleure approximation si on en connaît. Mais plus on tape de décimales, plus le risque d'erreur dans la saisie est grand.

A défaut de touche [Pi], il est préférable d'utiliser l'approximation fractionnaire 355/113, qui allie la précision et la simplicité :

 Pour multiplier le nombre 4 par Pi, taper 4 × 355 ÷ 113
 Pour diviser 4 par Pi, taper 4 × 113 ÷ 355


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