Méthodes d'approximation de Pi

Des formules mathématiques compliquées existent pour déterminer des approximations de Pi avec n'importe quel degré de précision. Voici des méthodes utilisées pour déterminer des valeurs approchées de Pi avec une précision de quelques décimales.

 Pour en savoir plus sur les formules permettant de calculer le nombre Pi, consulter le site d'Olivier Bruchez. Et au format Pdf, une liste de Formules et algorithmes pour évaluer Pi établie par Gérard Sookahet (60 pages).

 MÉTHODE DES POLYGONES

La méthode des polygones est une méthode géométrique connue depuis l'Antiquité. Elle tient son origine dans le fait que le périmètre d’un cercle peut être encadré par les périmètres de deux polygones réguliers (l’un inscrit et l'autre circonscrit au cercle).

Pour un cercle de diamètre 1, le périmètre de l'hexagone inscrit est égal à 3 ; celui de l'hexagone circonscrit vaut environ 3,47 (2racine carrée de3). Ce qui permet d'écrire : 3<Pi<3,47.

 cercle entre deux hexagones

En calculant les périmètres de polygones ayant plusieurs milliers de côtés, et en divisant les résultats par le diamètre du cercle, on retrouve l’approximation de Pi 355/113.

 Une présentation pédagogique s'intitulant Approche du nombre Pi par encadrements se trouve sur le site de l'académie de Dijon. A voir aussi sur cette même méthode : la page de Rémi André, et celle de Nicolas Scalion.

A télécharger, un document au format Pdf intitulé Le nombre Pi et le cercle (Université de Mons, Belgique).

 MÉTHODE DES FRACTIONS CONTINUES

La méthode dite des fractions continues consiste à développer le nombre Pi en une suite continue de nombres fractionnaires.
Décomposant Pi en 3 + 0,141592..., on rapproche alors Pi de 3 + 1/7, autrement dit 22/7.
Poursuivant l'expérience, on obtient 3 + 1/ (7 + 1/15), soit 333/106.
Puis 3 + 1/ (7 + 1/ (15 + 1/1)) = 355/113.
Ensuite, c'est 103993/33102 qui apparaît.
 fraction continue

En utilisant cette méthode, on retrouve aussi pour Pi2 les valeurs approchées 227/23 et 10975/1112 ; pour Pi3 l'approximation 123498/3983 ; pour Pi4, on note 2143/22.

 Pour avoir une explication précise sur les fractions continues, voir la page intitulée Développement en fraction continue (Université de Bordeaux).

 MÉTHODE DU JET D'AIGUILLES

D'autres méthodes peuvent être utilisées, comme celle du jet d'aiguilles. L'expérience des aiguilles de Buffon (XVIIème s.) consiste à lancer des aiguilles sur un parquet de lattes de la même largeur.

Prenant la largeur d'une latte égale à la longueur d'une aiguille, la probabilité qu'une aiguille tombe sur deux lattes à la fois est de deux fois sur Pi.

 jet d'aiguilles

En 1901, Lazzerini a calculé après 3408 lancers l'approximation de Pi 3,1415929...

 Pour en savoir plus, visiter la page s'intitulant L'aiguille de Buffon sur le site d'Olivier Rochoir. Pour tester, voici une applette ((Lycée de Porrentruy, Suisse). Voir aussi un dossier au format Pdf réalisé par Jean-Paul Quelen.

 MÉTHODE DE MONTE-CARLO

La méthode de Monte-Carlo est une méthode statistique comme celle du jet d'aiguilles. Elle consiste à tracer un carré dont un demi-côté mesure une unité, et à inscrire un cercle à l'intérieur de ce carré.
La surface du carré est de 4 et celle du cercle se retrouve égale à Pi.

Choisissant au hasard un point du carré, la probabilité qu'il se trouve dans le cercle est de Pi /4.

 cercle dans un carré

En choisissant de manière aléatoire des points dans le carré, le rapport entre le nombre de points se trouvant dans le cercle et le nombre de points choisis va s'approcher de Pi/4. D'autant plus que le nombre de points choisis est grand.

 De nombreuses expériences pédagogiques utilisant cette méthode sont disponibles sur la toile (liens). Ainsi une page intitulée Approximation de Pi remplace les points par des lentilles. (Daniel Courounadin)

Une page appelée Pi approché par la méthode de Monte-Carlo présente un programme à télécharger permettant la visualisation de cette méthode, sur le site de l'académie de Toulouse.


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