Les approximations de Pi

Le nombre Pi est un nombre important en mathématiques. Il est aujourd'hui établi que la connaissance de quarante décimales de Pi serait suffisante pour calculer la circonférence de la Voie lactée avec une erreur inférieure à la taille d’un proton. (Pour la Science N° 235, mai 1997)

 L'universitaire Simon Plouffe présente une table d'approximations de Pi dans laquelle il commente la qualité de nombreuses approximations.

 CHOIX D'UNE APPROXIMATION

Dans le calcul de la circonférence de la Terre, les dix premières décimales de Pi sont suffisantes pour obtenir une précision au centimètre près.
Dans la plupart des calculs, la précision nécessaire dans l'approximation de Pi se limite donc à quelques décimales.
C'est le cas dans les calculs scolaires de la circonférence d'un cercle, de la surface d'un disque [ Pi multiplié par le rayon au carré], du volume d'une sphère [4/3 de Pi multiplié par le rayon au cube].
le tour de la Terre
40 075,017 km, c'est la circonférence de la Terre à l'équateur.

La valeur approchée 3,14 est la plus courante, et 3,1416 est un peu plus précise. Mais d'autres approximations peuvent être utilisées, comme par exemple 22/7 ou 333/106, qui sont des fractions. Le géomètre hollandais Adriaensz Metius, qui a vécu au XVIIème siècle, a donné la valeur approchée de Pi 355/113. Elle est particulièrement facile à retenir (113 | 355).

 DES APPROXIMATIONS FRACTIONNAIRES

Parmi les approximations rationnelles de Pi, on note :

 22/7 : 3,142857... = Pi + 0,00126... Précis à 0,04025 % près.

 333/106 : 3,1415094... = Pi - 0,00008... Précis à 0,0026 % près.
 355/113 : 3,14159292... = Pi + 0.000000266... Pi à 0,00000849 % près.
 103993/33102 : 3,1415926530... = Pi - 0,000000000577... Pi à 0,00000001839 % près.
 104348/33215 : 3,141592653921... = Pi - 0,0000000003316... Précis à 0,00000001056 % près.

Il existe d'autres approximations fractionnaires de Pi intéressantes, comme 377/120 = 3,1466... et 732/233 = 3,14163... En effet, 377 et 233 sont deux nombres qui composent la suite de Fibonacci.

 AUTRES APPROXIMATIONS

Quelques approximations anciennes :

 A Babylone, environ 2000 ans av. J.-C. d'après une tablette cunéiforme : 3 + 1/8 = 3,125

 En Égypte, vers 1700 ans av. J.-C. :
(16/9)², soit 256/81 = 3,16049... d'après le Papyrus de Rhind : lire l'article en ligne de la revue Ankh Sur la mesure du cercle et de la sphère en Égypte ancienne.
 Papyrus de Rhind
Papyrus de Rhind
 En Europe, vers 250 av. J.-C. (Archimède) : 223/71<Pi<22/7, soit environ 3,141851...
Le site du Kangourou des Mathématiques présente le texte original du traité d'Archimède intitulé De la mesure du cercle.
 En Chine, en 130 ap. J.-C. : la racine carrée de 10, soit 3,1622...
 En Europe, en 150 ap. J.-C. (Ptolémée) : 3 + 8/60 + 30/60², soit 377/120 = 3,14166...
 En Inde, en 380 ap. J.-C. (Siddhanta) : 3 + 177/1250 = 3,1416

A partir de l'étude des polygones, des approximations assez précises ont pu ętre obtenues. Après Archimède vers 250 av. J.-C., il y a eu :

 En Chine, au Vème siècle (Zu Chongzhi) : 3,1415926<Pi<3,1415927.
 En Arabie, en 1450 ap. J.-C. (Al-Kashi) : 14 décimales.
 En Europe, vers 1600 (Ludolph von Ceulen) : 35 décimales.

 Pour en savoir plus sur l'origine de ces approximations, consulter un document très complet au format Pdf intitulé Pi, le nombre diachronique (Université Claude Bernard, Lyon), de préférence à télécharger.


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